Superficie de Riemann

En geometría algebraica, una superficie de Riemann es una variedad compleja de dimensión (compleja) uno. Consecuentemente, la variedad real subyacente será de dimensión 2. Estas superficies fueron estudiadas por primera vez por y llevan el nombre de Bernhard Riemann . Las superficies de Riemann se pueden considerar como versiones deformadas del plano complejo: localmente, cerca de cada punto, parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias láminas pegadas entre sí.

El principal interés de las superficies de Riemann radica en que entre ellas pueden definirse funciones holomorfas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el escenario natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente funciones multivaluadas como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas, o el logaritmo.

Toda superficie de Riemann es un colector analítico real bidimensional (es decir, una superficie), pero contiene más estructura (concretamente un estructura compleja) que es necesaria para la definición inequívoca de las funciones holomorfas. Una múltiple real bidimensional puede convertirse en una superficie de Riemann (normalmente de varias formas no equivalentes) si y sólo si es orientable y metrizable. Así, la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero la banda de Möbius, la botella de Klein y el plano proyectivo real no.

Los hechos geométricos sobre las superficies de Riemann son lo más "bonitos" posible, y a menudo proporcionan la intuición y la motivación para generalizaciones a otras curvas, variedades o variedades. El teorema de Riemann-Roch es un excelente ejemplo de esta influencia.